domingo, 9 de mayo de 2010

Los números Irracionales en la realidad

Pueden consultar la siguiente página:

http://matematicasapasionantes.blogspot.com/2010/01/los-numeros-irracionales-en-la-realidad.html

Representación gráfica de la raíz cuadrada de dos

También los números irracionales, las raíces, por ejemplo, se representan en la recta.
Por ejemplo, para calcular el punto que representa el número raíz cuadrada de dos, realiza los siguientes pasos:
Levanta sobre la recta un cuadrado cuyo lado sea el segmento unidad entre el 0 y el 1. Según el teorema de Pitágoras, la diagonal del cuadrado mide raíz cuadrada de dos.
Utiliza un compás para trasladar esa diagonal sobre la recta. El punto de corte del arco del compás sobre la recta representa el número raíz cuadrada de dos. Fíjate en la siguiente figura y dibújala en tu cuaderno.


Algo de historia del número Real

Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C..; alrededor del 500 a. C. el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.
En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Número_real

Ejemplos clásicos de números Irracionales

El número pi

Uno de los ejemplos clásicos de números irracionales que estamos acostumbrados a manejar es el conocido por la letra griega Pi que representa la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia.

A diferencia de lo que ocurre con la raíz cuadrada de dos, no es posible dibujar con regla y compás el número sobre la recta real. El problema es conocido como la rectificación de la circunferencia y hay métodos algebraicos para demostrar que no tiene solución, a pesar de que mucha gente la buscó durante siglos (y algunos siguen buscándola hoy en día).

Otros problemas de parecida índole son los famosos de la cuadratura del círculo, que consiste en construir con regla y compás un cuadrado que tenga el mismo área que un círculo dado, y la trisección del ángulo, que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales. Todos ellos son imposibles con regla y compás y puede demostrarse algebraicamente su imposibilidad.

El número e

También el número e, base de los llamados logaritmos naturales o neperianos es un número irracional.

Igual que pasaba con pi, no es posible dibujar con regla y compás un punto en la recta real a distancia e, del origen.

El conjunto de los números Reales

Los números racionales son los que pueden expresarse en forma de fracción. Los números naturales, los enteros, las expresiones decimales exactas y las periódicas pueden ser expresadas en forma de fracción, por lo tanto, todos ellos son números racionales.
Pero hay números que no pueden expresarse en forma de fracción, ya que su expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas: Los números Irracionales.
La unión del conjunto Q de los números racionales con el conjunto I de los números irracionales forma el conjunto R de los números reales, que "completan" la recta numérica, ya que todos sus puntos pueden ser representados mediante un números real.

Definición de números Racionales

Son los que se pueden expresar como cociente de dos números enteros. El término "racional" hace referencia a una "ración" o parte de un todo; el conjunto de los números racionales se designan con "Q" por "quotient" que significa "cociente" en varios idiomas europeos.
Entonces el conjunto de los números que se pueden representar por expresiones de la forma a / b, con a y b números enteros, b diferente de cero, se llama el conjunto de los números racionales y se denota por Q.

La expresión a /b se llama fracción, "a" se llama numerador y "b" se llama denominador.
El conjunto de los números racionales está compuesto por los números enteros y por los fraccionarios. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1. Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios.
Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) y el resultado de todas esas operaciones entre dos números racionales es siempre otro número racional.

Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.

Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario.

Mapa conceptual de los Números Reales